Seja a equação racional inteira a0.x n + a1.x n-1 + a2.x n-2 + ... + an = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x , com a0 , a1 , ... , an números reais sendo a0 ¹ 0 e n inteiro positivo.
Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos equidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.
Exemplos:
2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie
2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 - equação recíproca de 2ª espécie.
Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro.
Fazendo x + 1/x = y , vem:
2y2 - 4 - y - 6 = 0
2y2 - y - 10 = 0
Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .
Substituindo em x + 1/x = y, vem:
x + 1/x = 5/2 \ 2x2 - 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x = -1 ou x = -1.
Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:
S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}
Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.
Agora resolva as seguintes equações recíprocas:
a) 12x4 - 4x3 - 41x2 - 4x + 12 = 0
Sugestão: comece dividindo ambos os membros por x2 .
b) 20x5 - 169x4 - 591x3 - 591x2 - 169x + 20 = 0
Sugestão: observe que -1 é raiz; logo, comece dividindo o primeiro membro por x - (-1) = x + 1.
Respostas:
a) S = {2, 1/2, -2/3, -3/2}
b) S = {-1, 5, 1/5, 4, 1/4}