Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de descontos: o desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. O desconto composto “por fora”, não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização prática conhecida. Quanto ao desconto “por dentro” ou racional, ele nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalização composta; portanto de aplicação generalizada.

Desconto Composto "Por Fora"

No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes, quantos forem os períodos unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D, deduz-se que P =  S.(1 - d x n).

Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor de desconto correspondente ao primeiro período; no terceiro período sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo período, de forma que:

P1 = S - D   ou  P = S(1 - d)
P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2
P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3
.     .
.     .
Pn = S (1-d)n

Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários que sofre um desconto composto “por fora”, é dado pela expressão:

P = S(1-d)n

Exemplos:

1 - Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor do desconto.

Dados:
S = 28.800,00
n = 120 dias = 4 meses
d = 2,5% ao mês
D = ?

Solução:

P = S(1-d)n
P = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21
D = S - P = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79
HP12C  = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1 – 4 YX X 28.800,00 - = 2,773,79

2 - Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.

Dados:
D = 1.379,77
d = 3% ao mês
n = 90 dias ou 3 meses
S = ?

Solução:
D = S - P = S - S(1-d)n = S [1-(1-d)n]
D = S [1-(1-d)n]
1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3]
1.379,77 = S [ 1 - 0,912673]
1.379,77 = S x  0,087327
S = 1.379,77/0,087327 =  15.800,00

HP12C = 1E 0,03-3 YX 1- CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00

Desconto  “Por Dentro ” ou Racional

Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta, como segue:

Para manter a coerência no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa de desconto por d . Assim a fórmula anterior pode ser escrita como segue:

Exemplo:

1 - Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.

Dados:
S = 50.000,00
n = 5 meses
d = 3,5% ao mês
D = ?

Solução:

D = S x (1 + d)n - 1/(1+d)n
D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5-1/(1 + 0,035)5
D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5  
D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X  0,15803
D = 7.901,50

HP12C = 1,035E5YX 1-E 1,035E5YX : 50.000,00 X = 7.901,50

HP12C =  50.000,00 CHS FV 3,5 i 5 n PV 50.000,00 - = 7.901,34